Bài toán dãy số kim tự tháp

[huy]

Có bài toán này không khó nhưng mình thấy cũng thú vị, code hoài nên lâu lâu ngồi làm toán lại cũng hay. Mình share lên đây cho bạn nào hứng thú thì giải nha.

Cho dãy số sau:

          1 
       2  3  4
    5  6  7  8  9
10 11 12 13 14 15 16

Hỏi tổng của dòng thứ N là gì? Bạn nào giải ra nhớ kèm chứng minh nữa nhé

[nlbhai]

Đại loại hướng giải thuật là:
- Tính số lượng số ở dòng thứ N
- Tính số max của dòng thứ N
(và thế là tìm được min của dòng thứ N)
- Sau đó là tính tổng từ min tới max

Một số thứ linh tinh:
- Số Max của dòng thứ N là N^2 (oh really haha )
- Số lượng số của dòng thứ N là 2N-1

- Tổng các số từ 1 tới N là N(N+1)/2

Problem solved

[tulip4attoo]

Lời giải trên giấy :v như sau:

Về cơ bản thì bài toán là việc tính tổng các số liên tiếptiếp từ $(n - 1) ^ 2 + 1$ tới $n^2$

[AnDang]

Chứng minh bằng quy nạp:

• Giả sử dòng thứ n thì số lượng số của dòng cuối là: 2(n-1) +1
  vd: dòng 1 là: 2(1-0) + 1 = 1, dòng 2: 2(2-1)+1 =3
  Vậy dòng thứ n+ 1 thì số lượng số của dòng cuối là 2(n+1-1) +1 = 2n +1
• Giả sử max của dòng thứ n là n^2 vậy dòng thứ n+1 là: n^2 + 2n +1 = (n+1)^2 --> vậy dòng thư k thì max của dòng thứ k là k^2

Tổng của dòng thứ n (không tính các dòng phía trên) là từ (n-1)^2 +1 đến n^2 với khoảng cách là 1

[cuongdev]

ý tưởng: lấy tổng từ dòng thứ 1 -> dòng thứ n trừ cho tổng từ dòng thứ 1 -> dòng thứ n-1

ĐS: [n^2(n^2+1)] / 2 - [ (n-1)^2 [(n-1)^2 + 1] ]/2

[rodgers]

Viết lại.
1
3 3 3
7 7 7 7 7
13 13 13 .... 13 13

=> Tổng tại hàng n : (2n - 1)*(n^2 - n + 1)

[Thuyen_Trinh]

Ta nhận thấy:

Sn = sum(row n) = sum(từ (n-1)^2 + 1 --> n^2)
= sum(từ 1 --> n^2) - sum(từ 1 --> (n-1)^2)
= n^2*(n^2 + 1)/2 - (n-1)^2*((n-1)^2+1)/2

Rút gọn biểu thức S được:

Sn = 2*n^3 - 3*n^2 + 3*n - 1

Ta có thể biến đổi S gọn hơn cho tính toán: Sn = n^3 + (n-1)^3

Thử lại: S3 = 3^3 + 2^3 = 35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9

[toanha]

Góp vui bằng bài giải của mình được viết bằng Elxiir
http://elixirplayground.com?gist=d3db75c9b2d385ecb823bc655cd531c6

[duy]

Bài giải của mình

Để tính tổng ở dòng thứ N, ta sẽ tính tổng từ 1 đến số cuối cùng ở dòng N, gọi tổng này là (1)
tiếp theo tính tổng từ 1 đến số cuối của dòng N-1, gọi tổng này là (2)
=> Tổng các số ở dòng thứ N = (1) - (2)

Tiếp theo, làm thế nào để tìm số cuối cùng ở dòng thứ N?
nếu nhìn vào tam giác, ta thấy số cuối cùng ở dòng thứ N = tổng N số hạng đầu tiên của dãy số 1,3,5,7,..,N,N+2,.. (dãy các số lẻ).
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, ta được số cuối cùng ở dòng thứ N.

Lại áp dụng công thức trên để tính tổng từ 1 tới số cuối cùng ở 1 dòng thứ N bất kì, rồi lấy hiệu để ra được đáp án cuối cùng.

Ví dụ:
Tính tổng các số của dòng thứ 4.
Tìm số cuối cùng ở dòng thứ 4:

S4 = 4(2*1 + (4-1)2)0.5 = 16 (n=4, a1 = 1, d = 2)
S3 = 3(2*1 + (3-1)2)0.5 = 9

tổng từ 1 đến 16 = 17*16*0.5 = 136
tổng từ 1 đến 9 = 10*9*0.5 = 45

=> tổng các số ở dòng 4 = 136-45 = 91

[huy]

Viết lại.
1
3 3 3
7 7 7 7 7
13 13 13 .... 13 13

=> Tổng tại hàng n : (2n - 1)*(n^2 - n + 1)

Cách giải của bạn thú vị lắm, nhưng làm sao bạn biết được số đại diện của dòng N là N^2 - N + 1 ?

[bachhungkien]

Theo hình dáng kim tự tháp thì mỗi dòng có số phần tử là các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, … => hàng thứ n có (2n-1) phần tử
Giá trị của mỗi phần tử tương ứng với phép đếm từ trên xuống dưới, trái sang phải => giá trị cuối của hàng n là tổng [1+3+5+…+(2n-1)]. Dễ dàng tính được tổng này có giá trị là n^2 => quy tắc số cuối hàng n có giá trị là n^2
Từ quy tắc trên suy ra số cuối hàng (n-1) là (n-1)^2 => số đầu hàng n là [(n-1)^2 + 1]
Hàng n đã có số đầu là [(n-1)^2 + 1], số cuối là n^2, số phần tử là (2n-1) => tổng bằng (đầu + cuối) x số phần tử /2 => biến đổi ra được (2n-1)(n^2 - n + 1) => tiếp tục khai triển rồi thu gọn ra được n^3 + (n-1)^3

[rodgers]

Haha tks a. Em thì nghĩ vầy thôi.
Số cuối = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) vì mỗi dãy sau sẽ nhiều hơn dãy trước 2 số
=> Số cuối = n^2.
Mỗi dãy có 2n-1 số. Trừ đi số ở giừa là còn 2n-2 số. Tức số cuối cách số giữa n-1 số
=> gía trị số giữa = n^2 - (n - 1) = n^2 -n +1

Cũng tương tự bạn post trên.